berührt die Spezialgebiete

• Mathematik
  • Abstrakte Algebra
  • Gruppentheorie
  • Zahlentheorie

ist Spezialfall von

• additive Abelsche Gruppe
• multiplikative Halbgruppe
• Modul

umfasst als Spezialfälle

• kommutativer Ring (Axiom K)
• unitärer Ring (N)
  • Schiefkörper (NI)
    • Körper (KNI)
• nullteilerfreier Ring (0)
  • Integritätsbereich (0K)
• ganze Zahlen Z
• Hauptidealring [?]
• Polynomringe
• Restklassenringe

Formal definiert ist ein Ring eine Menge mit zwei darauf definierten zweistelligen Verknüpfungen, genannt als Addition ( + ) und Multiplikation (). Bezüglich der Addition ist eine abelsche Gruppe, deren neutrales Element 0 genannt wird. Bezüglich der Multiplikation ist eine Halbgruppe (d.h. abgeschlossen, assoziativ). Addition und Multiplikation sind durch das Distributivgesetz verknüpft, das heißt:

Die allgemeine Durchführbarkeit der Subtraktion ergibt sich aus den Gruppenaxiomen der Addition.

Jeder Ring R ist ein Modul über sich selbst (mit sich selbst als zugrundeliegendem Ring). In diesem Fall sind die Ideale in dem Ring R gerade die Untermoduln des Moduls R.

Ist die Multiplikation kommutativ, spricht man von einem kommutativen Ring.

Gibt es bezüglich der Multiplikation ein neutrales Element, so wird dies normalerweise als 1 genannt, man hat dann einen Ring mit 1 oder unitären Ring.

Ist ein Ring mit und gibt es zudem für alle ein multiplikatives Inverses, so heißt Schiefkörper, ist der Schiefkörper zudem noch kommutativ, bezeichnet man ihn einen Körper.

Gibt es in keine von 0 verschiedenen Elemente a,b, so dass , dann heißt nullteilerfrei.

Ist ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit , dann bezeichnet man Integritätsring.

siehe auch Hierarchie mathematischer Strukturen